<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          7 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadoras
          Andr Bolanho e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          Tel.: (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet: ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,
<p>
                                I
 Sumrio

 Quinta Parte

 Unidade 5

 35 -- Inequao do 1 
  grau com uma incgnita ::: 533
 Tratando a informao 
  A expectativa de vida em 
  grficos ::::::::::::::::: 545
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 549

 Unidade 6

 Estudando os ngulos ::::: 555
 36 -- O ngulo e seus 
  elementos :::::::::::::::: 557
 37 -- Medida de um 
  ngulo ::::::::::::::::::: 563
 Medindo ngulos ::::::::::: 565 
 ngulos congruentes ::::::: 570 
 ngulo raso, ngulo nulo e 
  ngulo de uma volta :::::: 574
 38 -- Operaes com 
  medidas de ngulos ::::::: 582
 Transformando unidades :::: 584 
 Simplificando os 
  resultados ::::::::::::::: 585  
 Adio com medidas de 
  ngulos :::::::::::::::::: 588
 Subtrao com medidas de 
  ngulos :::::::::::::::::: 589 
 Multiplicao de um nmero 
  natural por medidas de 
  ngulos :::::::::::::::::: 590
 Diviso de medidas de 
  ngulos por um nmero 
  natural no nulo ::::::::: 591
 39 -- ngulos consecutivos 
  e ngulos adjacentes ::::: 597
 40 -- Bissetriz de um 
  ngulo ::::::::::::::::::: 605
 41 -- ngulo reto, ngulo 
  agudo e ngulo obtuso :::: 611
 Retas perpendiculares ::::: 613
 Tratando a informao 
  Grfico de setores :::::: 619
 42 -- ngulos 
  complementares e ngulos 
  suplementares :::::::::::: 623
 ngulos complementares :::: 623 
 ngulos suplementares ::::: 625 
 Resolvendo problemas :::::: 626
                             III
 43 -- ngulos opostos pelo 
  vrtice :::::::::::::::::: 635
 Uma propriedade importante 
  dos ngulos o.p.v. ::::::: 637
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 645

 Unidade 7

 Estudando Tringulos e 
  Quadrilteros ::::::::::: 653
 44 -- Reconhecendo 
  tringulos ::::::::::::::: 654
 O tringulo e seus 
  elementos :::::::::::::::: 654 
 Classificando os tringulos 
  quanto aos lados ::::::::: 656 
 Classificando os 
  tringulos quanto aos 
  ngulos :::::::::::::::::: 658
 45 -- Uma relao entre as 
  medidas dos ngulos 
  internos de um 
  tringulo :::::::::::::::: 660

<p>
<178>
<ta c. mat. 7 ano>
<T+533>
<R+>
 35 -- Inequao do 1 grau com uma incgnita
<R->

  Denomina-se inequao do 1 grau com uma incgnita toda inequao que, sofrendo
transformaes oportunas, assume uma das formas: ax>b, ax<b, ax>=b, ax<=b,
com a=0.
  Assim, so inequaes do 1 grau com uma incgnita:

 3x>1 incgnita x
 2y<-30 incgnita y
 5t>=10 incgnita t
 -3p<=-60 incgnita p 

  Resolver uma inequao do 1 grau com uma incgnita significa determinar os valores
do conjunto universo que verificam a desigualdade que representa essa inequao.
  Para isso, vamos aplicar os princpios de equivalncia das desigualdades e proceder da mesma 
<p>
maneira que fizemos para as equaes.
  Veja alguns exemplos:

<R+>
 1- Resolver a inequao 7x+6>4x+7, sendo U=_q.

 7x+6>4x+7
 Pelo princpio aditivo
 7x>4x+7-6 
 7x>4x+1
 Pelo princpio aditivo
 7x-4x>1 
 3x>1
 Pelo princpio multiplicativo
 x>13

 A partir da inequao x>13, podemos dizer que todos os nmeros racionais maiores
que 13 formam o conjunto soluo da inequao dada. Representamos a soluo
assim:

 S=~lx,_q,x>13_,

<179>
<p>
 2- Resolver a inequao x2<=14-?2-3x*5, sendo U=_q.

 x2<=14-?2-3x*5
 10x20<=520-?4`(2-3x`)*20
 Pelo princpio multiplicativo
 10x<=5-4`(2-3x`)
 10x<=5-8+12x
 10x<=-3+12x
 Pelo princpio aditivo
 10x-12x<=-3
 -2x<=-3
 Multiplicamos por `(-1`)
 2x>=3
 Pelo princpio multiplicamos 
 x>=32
 
 Todo nmero racional maior ou igual a 32 faz parte do conjunto soluo da inequao
dada, ou seja:

 S=~lx,_q,x>=32_,

<p>
 3- Qual  o conjunto soluo da inequao 4`(x-1`)-2`(3x+1`)<7, sendo U=_q?

 4`(x-1`)-2`(3x+1`)<7
 Eliminamos os parnteses
 4x-4-6x-2<7
 -2x-6<7
 Pelo princpio aditivo
 -2x<13
 Multiplicamos por `(-1`)
 2x>-13
 Pelo princpio multiplicativo
 x>-132

 Todos os nmeros racionais maiores que -132 formam o conjunto soluo da inequao
dada, ou seja:

 S=~lx,_q,x>-132_,

 4- Verificar se os nmeros racionais -9 e +6 fazem parte do conjunto soluo da inequao
5x-3`(x+6`)>x-14.
<p>
  Vamos, inicialmente, resolver a inequao dada.

 5x-3`(x+6`)>x-14
 5x-3x-18>x-14
 2x-18>x-14
 2x>x-14+18
 2x>x+4
 2x-x>4
 x>4
<R->

<180>
  Vamos, agora, fazer a verificao:
<R+>
 o para -9, temos: -9>4 (sentena falsa)
 o para 6, temos: 6>4 (sentena verdadeira)
<R->

  Ento, o nmero 6 faz parte do conjunto soluo S da inequao, enquanto o nmero
-9 no faz parte desse conjunto.

<p>
 Desafio!

  Paulo trabalha como vendedor em uma loja de eletrodomsticos.
Seu salrio mensal  obtido pela soma de
uma parte fixa de R$500,00 e uma parte varivel, que
corresponde a R$20,00 por aparelho vendido. Nessas
condies, determine:
<R+>
 a) o salrio de Paulo no ms em que ele vendeu 54
aparelhos.
 b) a expresso matemtica do salrio mensal *s* de
Paulo, quando ele vende *p* ou mais unidades todo ms.

 Exerccios

 1. Determine, para cada uma das inequaes
a seguir, quais nmeros racionais representam
uma soluo.
 a) x+15>21
 b) x-18<-23
 c) 17-x<30
 d) 11-9x>=2x
 e) 8x+19<=10x+11
 f) 13x-1<9x+1
 g) 3`(x-1`)-2x>=13
 h) 9`(x-2`)-5`(x-3`)<1

 2. Um retngulo tem 5 cm de largura, e um
quadrado tem 
  11 cm de lado. Quais valores,
em centmetros, o comprimento do retngulo
pode assumir para que o permetro desse
retngulo seja maior que o permetro do quadrado?

<F->
!::::::
l      _
l      _ 11 
l      _
h::::::j
  11

<p>
!::
l  _
l  _
l  _ x
l  _
l  _
l  _
h::j
 5
<F+>

 3. Em um recipiente cheio cabem x litros. Se
tirarmos 2 litros, a quantidade que restar no
recipiente ser menor que
35 da capacidade do
recipiente. Monte a inequao correspondente
e determine os possveis valores racionais de x.

 4. Sendo U=_q, determine o conjunto soluo
S de cada uma das seguintes inequaes:
 a) x2-53+x<-1
 b) ?x-1*2>1+x3
 c) x5>14-?2-x*2 
 d) ?x+1*4<=?x-2*8
 e) x2>2`(1-x`)
 f) ?x-1*4>-16+?x-2*3
<L>
 5. O nmero 3 pertence ao conjunto soluo
da inequao 13`(x-2`)<x2-1?
 6. Dados os nmeros a seguir, quais deles
pertencem ao conjunto soluo da inequao 3`(2x-1`)<5x-1?
 -6
 -3
 0
 3
 6

<181>
 Brasil Real

 wr Economia e Literatura

 1. No Brasil, o custo de um trajeto de txi
varia de acordo com o valor da "bandeirada" e
os quilmetros rodados. Veja, a seguir, alguns
valores cobrados em trs cidades, em outubro
de 2008.
<R->

  A bandeirada  o valor a ser
cobrado a cada incio de corrida.

<R+>
 So Paulo
  bandeirada: R$3,50
  km rodado: R$2,10

 Rio de Janeiro
  bandeirada: R$4,30
  km rodado: R$1,25

 Curitiba
  bandeirada: R$3,50
  km rodado: R$1,80

 a) Por um percurso de 12 quilmetros, qual o
valor pago em cada uma dessas cidades?
 b) Em qual cidade o valor da bandeirada 
maior? Comparando uma corrida com a mesma
quilometragem, pode-se dizer que nessa
cidade a corrida  mais cara que nas outras
duas? Justifique.
 c) Monte uma equao que represente o valor
v de uma viagem de txi de x quilmetros, em
  Curitiba.
<p>
 d) Com a quantia de 20 reais, que nmero inteiro
de quilmetros, no mximo, uma pessoa
pode percorrer de txi em So Paulo, sem gastar
todo o seu dinheiro? E em Curitiba?

 2. Vamos falar um pouco de livros!

 _`[{foto da capa do livro citado_`]
 O primeiro poeta brasileiro
a publicar um livro foi
Manoel Botelho de Oliveira
(1636-1711), nascido em 
  Salvador (BA). O livro,
chamado *Msica do
Parnaso*, foi impresso
no sculo XVIII.

 _`[{foto da capa do livro citado_`]
 Murasaki Shibiku,
uma mulher japonesa da
classe nobre, escreveu no
ano x o primeiro romance
literrio de que se tem
notcia: *A histria de Genji*,
que conta a trajetria de um
prncipe em busca de amor
e sabedoria.

 _`[{foto da capa de um dos livros da escritora_`]
 A pessoa que escreveu o
maior nmero de romances
na histria, at os dias
atuais, tambm  uma
mulher: Mary Barbara
Hamilton Cartland. Autora
de y romances, que
venderam mais de
um bilho de cpias em
36 idiomas,  a escritora
que mais vende romances
no mundo.

 a) Determine o maior nmero inteiro que satisfaz
a inequao dada a seguir para descobrir
o ano em que Msica do Parnaso foi impresso.

 145+5`(x+571`)>64-7`(68-x`)

 b) Saiba que x e y so os menores nmeros
naturais que satisfazem as inequaes a
seguir.

 552-5`(x-221`)<8`(x-3`)-
  -11`(x+10`)-221
 ?y+86*12+409<134-
  -?2`(105-y`)*18-136
<L>
 Resolva as inequaes e descubra o ano em
que *A histria de Genji* foi escrito e quantos
romances Barbara Cartland escreveu.
<R->

<182>
 Tratando a informao

 A expectativa de vida em grficos 

 wr Geografia

  Os grficos a seguir indicam a esperana de vida da populao brasileira, por sexo, nos perodos
indicados.

<p>
 _`[{grficos adaptados_`]
 Grfico 1
 Esperana de vida ao nascer 

 Em anos

 1980 -- Por sexo
 Diferena: 6,4 anos

 Legenda: 
 Mdia: m 62,7
 Homem: h 59,6
 Mulher: m 66

<F->
          
    gg  
      
      
      
      
      
      
      
      
--------
  m  h   m
<F+>

<p>
 2007 -- Por sexo
 Diferena: 7,5 anos

 Legenda: 
 Mdia: m 72,7
 Homem: h 69
 Mulher: m 76,5

<F->
          
    gg  
      
      
      
      
      
      
      
      
--------
  m  h   m
<F+>

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 17 out. 2008.

<p>
 _`[{grfico adaptado_`]
 Grfico 2
 Evoluo da esperana de vida ao 
  nascer

 Anos -- Idade
 1960 -- 48,0
 1970 -- 52,6
 1980 -- 62,7
 1991 -- 67,0
 2000 -- 70,4 
 2004 -- 71,7
 2007 -- 72,7
 
 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 17 out. 2008.

 Chegou a sua vez!

  De acordo com os grficos, responda:
<R+>
 a) Quais tipos de grfico foram usados?
 b) De que trata cada grfico?
 c) Qual o significado da sigla IBGE?
<p>
 d) Qual sexo tinha maior esperana de vida ao nascer em 1980? E em 2007?
 e) Em relao a 1980, quantos anos, em mdia, o brasileiro estava vivendo a mais no ano 2007?
 f) Em quais anos a esperana de vida do brasileiro foi maior do que 60 anos?

<183>
 Retomando o que aprendeu

  Responda no caderno.
 1. Uma indstria se instalou em uma cidade
A. De acordo com os seus estatutos, o nmero
de funcionrios que residem na cidade A deve
ser sempre maior que o nmero de funcionrios
vindos de outras cidades. Sabendo-se que
50 trabalhadores vieram de outras cidades, e
sendo x o nmero de funcionrios residentes
na cidade A, que inequao representa as exigncias
do estatuto dessa indstria?
 2. Que inequao voc pode escrever quando
multiplica os dois membros da inequao
-5x>1 pelo nmero `(-1`)?
 3. Qual  a soluo da inequao
x-2`(x+1`)<?x+3*5, no conjunto _q?

 4. Dentre os nmeros a seguir, quais pertencem
ao conjunto soluo da inequao
?x-7*5+x10<=1, sendo U=_q?
 -3 
 0 
 5 
 8 
 9

 5. Se voc multiplicar 1118 por um nmero
racional x e do resultado subtrair 715, encontrar
um valor menor que 112. Determine os
valores de x que satisfazem o problema.
<p>
 6. Quais nmeros inteiros negativos fazem
parte do conjunto soluo da inequao?

 3`(x-2`)-?7x-1*2<?2x-4*3

 7. Sendo U=_n, qual  o conjunto soluo da
inequao 4x-1<2+3x?

 8. Qual o maior valor inteiro que x pode assumir
para que o permetro do tringulo a seguir
seja menor que o permetro do quadrado?

<F->
Figura 1.

    
      
x      x
       
--------u
   12

<p>
Figura 2.

      5
   !:::::
   l     _
5 l     _ 5 
   l     _
   h:::::j
      5
<F+>

 9. Determine o conjunto soluo da inequao,
sendo U=_q.

 ?3`(2x+1`)*2-?2x+1*6>
  >?10`(x+2`)*3-?6x-1*2

 10. Sendo S o conjunto soluo da inequao
3x-7>3`(-1+2x`)-
  -2x no conjunto _q, qual
das seguintes afirmaes  correta?
 a) 0,S 
 b) -3,S 
 c) -4,S
 d) -5,S

 11. Se voc multiplicar 0,5 por um nmero
racional x e ao resultado adicionar 1,75, vai encontrar
nmeros maiores que 4. Que valores x
pode assumir para satisfazer essa condio?
 12. Todos os nmeros racionais negativos
so solues da inequao -x>0. Essa afirmao
 verdadeira ou falsa?
 13. Sendo dada a inequao x<x3, quais,
dentre os nmeros -9, -6, 0, 3 e 12, satisfazem
essa inequao?

 14. (Saresp) Um espio de guerra enviou ao
seu comando a seguinte mensagem:

 5n+25>5.500
 -8n+3.501>210-5n

 O comando sabia que a letra n representava
o nmero de foguetes do inimigo. Fazendo os
clculos, o comando descobriu que o total de
foguetes era:
 a) 1.094 
 b) 1.095 
<p>
 c) 1.096 
 d) 1.097
<R->

               oooooooooooo

<184>
<p>
 Unidade 6

 Estudando os ngulos

 O que eles tm em comum?

 _`[{imagem de uma sombrinha usada no frevo vista de cima_`]

<R+>
 _`[{imagem de um grfico de setores sobre a porcentagem de bebidas preferidas com 
a seguinte legenda: caf: 40%; leite 10%; ch 30% e sem preferncia 20%_`]
<R->

 As ideias mudam...

  Por volta de 5000 a.C. acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra 
em uma rbita circular.
  Essa ideia s foi desconstruda no sculo XVI, com a teoria de Coprnico, a qual 
provou que os planetas do Sistema Solar giram e em torno Sol.

<R+>
 _`[{imagem do *Universo de 
  Coprnico*, Thomas Digges, 1576_`]

 Um relgio de sol e um relgio digital marcam a mesma hora em um dia?
<R->

  Um relgio de sol assinala as horas
correspondentes ao dia solar verdadeiro,
enquanto o relgio mecnico ou digital
assinala o dia solar mdio.

<R+>
 _`[{foto de um relgio de sol_`]
 Legenda: Relgio de sol localizado no Parque Estadual de
  Ibitipoca, em Minas Gerais.
<R->

  O dia solar verdadeiro  o tempo que o
globo terrestre demora para dar uma volta
em torno de seu prprio eixo, tomando-se
como ponto de referncia o Sol.
  Considerando que existem grandes
variaes apresentadas pelo dia solar, criou-se 
o dia solar mdio. Um dia solar mdio
tem 24 horas, cada hora tem 60 minutos e
cada minuto, 60 segundos.

               ::::::::::::::::::::::::

<185>
 36 -- O ngulo e seus elementos
 
  Vamos representar matematicamente um ngulo, destacando suas partes principais:

<F->
             
            
           
           :> Semirreta
         
         
origem o::::::::::::
          semirreta

<p>
                  
                 
  semirreta :o  
               
              
                 
::::::::::::o origem
semirreta
<F+>

  Nos modelos matemticos de figuras
que sugerem a ideia de ngulo, podemos
destacar duas semirretas de mesma
origem que dividem o plano em duas
regies: uma convexa e outra
no-convexa.

<F->
                     .,a 
                 .,a  
regio       .,a   regio
no-convexa  a,.   convexa  
                 a,.
                     a,.     
<F+>

  ngulo  toda regio convexa do plano
determinada por duas semirretas de mesma origem.

<p>
  No ngulo da figura a seguir, destacamos os seguintes
elementos:

<F->
           A
              .,a
           .,a 
       .,a  
O .,a
   a,.
       a,.
           a,.     
              a,.
           B 
<F+>

<R+>
 o O ponto O, origem das semirretas, denominado
vrtice do ngulo;
 o As semirretas :,?O{a* e :,?O{b*, denominadas lados do ngulo.
<R->

  Para identificar esse ngulo, utilizamos a notao :?A{o{b* 
  :O -- vrtice do ngulo.

<p>
 Observao:
  Quando no h dvidas quanto ao ngulo a que nos referimos, utilizamos uma notao
que indica apenas o seu vrtice.

<F->
         O
         
          
           
            
             
A :t:        :: B
               

ngulo :o ou :?A{o{b*

<p>
           M
              .,a
           .,a 
       .,a  
P .,a
   a,.
       a,.
           a,.     
              a,.
           N 

ngulo :p ou :?m{p{n*

<p>
                    A
                      .,a
                   .,a
               .,a
           .,a 
       .,a              B
O .,a                   l 
   abkaaaaaaaaaaaaaaaaaaala 
       a,.               
           a,.     
               a,.
                   a,. 
                      a,.
                     C

<R+>
Nesse caso, h trs ngulos com vrtices em O: :?A{o{b*, :?B{o{c* e :?A{o{c*.
<R->
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<186>
<p>
 37 -- Medida de um ngulo

 wr Histria 

 O ngulo na histria

  Um dos problemas mais antigos registrados na histria da civilizao  o da
diviso da circunferncia em arcos de mesma medida.
  A diviso da circunferncia em 360 partes, possivelmente pela necessidade
da contagem do tempo, teve sua origem entre os anos 4000 a.C. e 3000 a.C. na
regio da Mesopotmia, onde hoje se localiza o Iraque.

  Para os babilnios, o Sol girava em torno da Terra em uma
rbita circular, levando 360 dias para dar uma volta completa.
  Dessa forma, a cada dia, o Sol percorreria o equivalente
a 1360 dessa rbita circular, determinando
um arco, que hoje consideramos como medida 1 grau.

<R+>
 _`[Desenho do Sol girando em torno da Terra_`]
 Legenda: Ilustrao fora de escala de tamanho e distncia. As cores
utilizadas so ilustrativas e no correspondem aos tons reais.

 _`[{desenho do mapa *A 
  Mesopotnia* retirado do *Atlas Escolar*. Rio de 
  Janeiro: MEC, 1978, p. 74_`]
<R->

  No sculo II a.C., Hiparco de Niceia, considerado pelos gregos o pai da Astronomia,
fez a primeira diviso do crculo em 360 partes iguais com o objetivo de medir ngulos.
  A cada um desses 360 arcos em que a circunferncia foi dividida associamos um
ngulo, cuja medida chamamos 1 grau. 

  Por volta de 3000 a.C. os habitantes da Sumria, antiga regio da Baixa
Mesopotmia 
  (sia), construam carros cujas rodas tinham seis raios opostos
diametralmente, determinando ngulos centrais de mesma medida. Tal fato nos
leva a concluir que os povos que viviam na 
 Mesopotmia, naquela poca, j
dominavam um processo de diviso da circunferncia em 6 partes iguais.

<187>
 Medindo ngulos

  A medida de um ngulo  dada pela medida de sua abertura, e a unidade padro utilizada
para essa medio  o grau, representado pelo smbolo  escrito aps o nmero.
  1 grau corresponde  medida do ngulo (com vrtice no centro da circunferncia) associado
a um arco de 1360 da circunferncia.
  Para medir um ngulo, comparamos sua medida  medida de um ngulo de 1 (um grau).
Na prtica, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O 
transferidor j vem graduado com divises de 1 em 1.

<R+>
 _`[{desenho no adaptado do transferidor de 180 e do transferidor de 360_`]
<R->

<188>
  Veja como utilizar o transferidor para medir um ngulo.

<R+>
 o Colocamos o transferidor de modo que
seu centro coincida com o vrtice do ngulo.
 o Colocamos a escala correspondente
ao zero no transferidor sobre um dos
lados do ngulo.

<F->
       A  *a
        *a
       *a
     *a
O *a      l     
  aaaaaaaaalaa
           B
<F+>

<p>
 o Identificamos na escala do transferidor
o nmero interceptado pelo outro lado
do ngulo.

<F-> 
       A   *a
    55 *a
        *a
      *a
    *a
O*a         l    
  aaaaaaaaaaalaa
             B
<F+>

 Nesse exemplo, a medida do ngulo :?a{o{B*  55. Indicamos: med `(:?a{o{B*`)=55.
<R->

<p>
  Vejamos mais alguns exemplos:

<F->
 
  
  
M  
     
      --------------l---
     N              l             
                    P
<F+>

 med `(:?M{n{p*`)=130


<F->
    l
D :l:
    l
    l     
    l
    l  
    l    
    v-------l---
   E       l    
           F   
<F+>

 med `(:?D{e{f*`)=90

<p>
<F->
               
A ::        :t: C
             
            
           
          
         
         B
<F+>

 med `(:?A{b{c`)=70

  O ngulo de 90  tambm chamado ngulo reto. 

<189>
 wr Sade

 Na hora de estudar ou trabalhar

  Se voc costuma passar a maior parte do dia sentado, pode sentir dores nas costas, pescoo e ombros. Veja algumas sugestes
para evitar esses problemas:

  As cadeiras giratrias facilitam a
acomodao dos movimentos enquanto
se est sentado. Prefira cadeiras firmes
com mecanismos para ajustar a altura
do assento e a inclinao do encosto. O
encosto deve ser acolchoado
e consistente.
  Evite curvar-se na realizao das
atividades, ajustando a distncia entre a
cadeira e a mesa de trabalho.
  Ao ajustar a altura do assento da cadeira,
deixe as pernas e coxas em um ngulo
de 90, de forma que seus ps fiquem
completamente apoiados no piso.

 ngulos congruentes

  Consideremos os ngulos :?A{o{b* e :?M{p{q*:

<F-> 
       A   *a
         *a
        *a
      *a
    *a
O*a         l    
  aaaaaaaaaaalaa
             B

               
M ::        :t: Q
             
            
           
          
         
         P
<F+>

  Ao transportar um ngulo sobre o outro, notamos que os vrtices e os lados dos dois
ngulos coincidem. Veja:

<F->
          A
       M  *a
         *a
        *a
      *a
    *a
O*a        l  l    
  aaaaaaaaaalaala
           Q B
<F+>

 O=p 
 = --  coincidente a

  Assim, :?A{o{b* e :?M{p{q* possuem a mesma abertura
e, portanto, a mesma medida.

<190>
  Dois ngulos que tm a mesma medida so chamados ngulos congruentes,
e utilizamos o smbolo == para relacion-los.

 med `(:?A{o{b*`)= med `(:?M{p{q*`)

  Usamos o smbolo = quando
comparamos as medidas
dos ngulos.

 == --  congruente a
 :?A{o{b*==:?M{p{q*

  Usamos o smbolo == quando
comparamos os ngulos.

  Na prtica, usamos o transferidor para determinar se dois ngulos so ou no congruentes.

<p>
<F->        
                
 a.          
  a.  82   
A   a.       C
       a.   
         a.
           B
<F+>

 med `(:?A{b{c*`)=82

<F->
           D
              .,a
           .,a 
       .,a  
E .,a    82
   a,.
       a,.
           a,.     
              a,.
           F 
<F+>

 med `(:?D{e{f*`)=82

 :?A{b{c*==:?D{e{f*

<p>
 ngulo raso, ngulo nulo e ngulo 
  de uma volta

  Quando duas semirretas so opostas, dizemos que formam um ngulo raso ou de meia-volta.

<F->
::::w::::::::w::::::::w::::
    B       A       C
<F+>

 :?B{a{c*  um ngulo raso ou de meia-volta. 

  Quando duas semirretas coincidem, obtemos dois ngulos: o ngulo nulo e o ngulo
de uma volta.

<F->
o::::::::w::::w::
O        A   B
<F+>

 ngulo nulo e ngulo de uma volta.

<191>
  Usando um transferidor, determinamos as medidas dos ngulos, em graus:

<p>
 o ngulo de meia-volta: 

<R+>
::w::::::::w::::::::w:
  B       A       C
<R->

 med `(:?B{a{c*`)=180

 o ngulo de uma volta:

<F->
o::::::::w::::w:::
A        B   C
<F+>

 med `(:?B{a{c*`)=360

 o ngulo nulo:

<F->
o::::::::w::::w::::
A        B   C
<F+>

 med `(:?B{a{c*`)=0

<p>
 Exerccios

<R+>
 1. Identifique o vrtice e os lados de cada ngulo:
 a) 
<F->
          A
           *a
          *a
        *a
      *a
    *a
  *a         l    
Baaaaaaaaaaalaa
            C
<F+>
   
 b)
<F->
         O
         
          
           
            
             
M :t:        :: N
               
<F+>

<p>
 2. Identifique todos os ngulos e nomeie-os:

<F->
   l          
A:l:      B         
   l        .,a
   l      .,a 
   l   .,a     
   l.,a 
   ----------l--
 O           l
             C
<F+>

 3. D as medidas dos ngulos 
  _`[no adaptados_`] indicados: 
 a) med `(:?A{o{b*`) 
 b) med `(:?A{o{c*`) 
 c) med `(:?A{o{d*`) 
 d) med `(:?A{o{e*`) 
 e) med `(:?A{o{f*`)
 f) med `(:?A{o{g*`)
 g) med `(:?B{o{e*`)
 h) med `(:?E{o{f*`)

<192>
 4. Quanto mede, em graus, um ngulo de
meia-volta?
<p>
 5. Quanto mede, em graus, um ngulo de
uma volta?

 6. Usando um transferidor, encontre a medida
de cada ngulo a seguir:
 a)
<F->
          A
           *a
          *a
        *a
      *a
    *a
  *a         l    
Baaaaaaaaaaalaa
            C
<F+>
 
 b)
<F->
                 
               :t:I
               
              
             
--l---------    
  l         H
 G
<F+>
 
<p>
 c)
<F->
             L
            *a
          *a 
        *a 
 J   *a   
   *a   
  *a  
*a     
        M
<F+>

 d)
<F->
 N
  l          O
cclcccccccccc  
              
                P
                
                
                  
<F+>

<p>
 e)
<F->
    D
a,.
  a,.
       a,.
           a,.F
           .,a 
       .,a
  .,a
.,a
    E
<F+>

 f)
<F->

      Q  *a
       *a
      *a 
    *a
r *a
  ^? 
    ^?
      ^?
       ^?
      S  ^?
<F+>

 7. Identifique os pares de ngulos congruentes do exerccio anterior.
 8. Dois ngulos, :?A{o{b* e :?M{p{q*, so congruentes. Qual o valor
de x sabendo que:

 med `(:?A{o{b`)=50 e med `(:?M{p{q`)=2x?

 9. Dois ngulos congruentes tm suas medidas expressas por `(2x-10`) e `(x+20`), respectivamente. Qual o valor de x?
<R->
 
 Desafio!

  Troque ideias com o colega e resolvam o desafio
do *Tempo em que o relgio tinha corda*!

  Um relgio parou marcando 5 horas. Os ponteiros formaram,
ento, o ngulo destacado a seguir. Aps "dar corda", o relgio
voltou a funcionar. Ao chegar s 6 horas, o ngulo formado
pelos ponteiros nessa nova posio aumentou ou diminuiu?
Quantos graus mede o novo ngulo?

<F->
 12
  l  
  l
  l
  l
 wr  
   
    
     5
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<193>
 38 -- Operaes com medidas de 
  ngulos

  Como vimos, o transferidor mede ngulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas h ngulos
que no possuem como medida um nmero inteiro de graus. Alm da utilizao de
decimais em medidas de ngulos, podemos tambm utilizar os submltiplos do grau para
indicar essas medidas.
  Para escrever a medida de um ngulo utilizando o minuto e o segundo, usamos a base
60 de numerao. Veja:
<L>
<R+>
 o minuto :> smbolo:  
 1 minuto =160 do grau, ou seja, 1 =60.
<R->

  1 =60
  1 grau  igual a 60 minutos. 

<R+>
 o segundo :> smbolo: 
 1 segundo =160 do minuto, ou seja, 1 =60
<R->

  1 =60
  1 minuto  igual a 60 segundos.

  Por exemplo, o ngulo de medida 18,5 pode ser escrito assim:

<R+>
 18,5 =18 +0,5 =18 
  +`(510`) =18 +`(12`) 
  =18 +30 ou 18 30

 18 30 -- 18 graus e 30 minutos
<R->

<p>
 Transformando unidades

  Acompanhe os exemplos a seguir.
<R+>
 1- Expressar 1 em segundos.

 Como 1 =60

 :> transformamos graus em minutos
 60 =`(6060`) =3.600 
 :> transformamos minutos em segundos
 Ento, 1 =3.600.

 2- Expressar 15 12 em minutos.

 15 =1560 =900
 900 +12 =912
 15 12 =912

 3- Expressar 90 em graus e minutos.

 90 =160 +30
 90 =1 +30
 90 =1 30 (1 grau e 30 minutos)

<194>
 4- Expressar 9.140 em graus, minutos e segundos.

 9.14060=152 resto 20
 9.140 =15260 +20 
  =152 20
 
 15260=2 resto 32
 152 =260 +32 =2 32

 9.140 =2 32 20
 (2 graus, 32 minutos e 20 segundos)

 Simplificando os resultados
<R->

  Em algumas situaes, principalmente nas operaes com medidas de ngulos, precisamos
simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso:

<R+>
 1- Simplificar 54 60.
 54 60 =54 +60 =54 +1 =55

<p>
 2- Simplificar 18 126.
 18 126 =18 +126 =18 +120 +6 =18 +2 +6 =20 +6 =20 6

 3- Simplificar 27 75 80.
 27 75 80 =27 +75 +80 =27 +75 +60 +20 =27 +75 +1 +20 
=27 76 +20 =27 +60 +16 +20 =27 +1 +16 +20 =28 +16 +20 =28 16 20

 De modo prtico:

 27 75 80
 80 =1 20
 76 =1 16

 27 75 80 =28 16 20

<195>
 Exerccios

 1. Expresse em segundos:
 a) 18 
 b) 2 15 
 c) 3

 2. Expresse em minutos:
 a) 40 
 b) 12 37 
 c) 2.040

 3. Expresse em graus, minutos e segundos:
 a) 5.710 
 b) 53.400 
 c) 43.471

 4. Qual a maior medida:
 a) 20 ou 1.080? 
 b) 12 ou 720?

 5. Escreva cada medida a seguir na forma
mais simples possvel.
 a) 80 
 b) 12 145 
 c) 200 
 d) 1 90 90
 e) 5 100
 f) 8 120 70
<R->

<p>
 Adio com medidas de ngulos

  Para encontrar a soma de duas ou mais medidas de ngulos, devemos adicionar segundos
a segundos, minutos a minutos e graus a graus, fazendo a simplificao, quando
necessrio.
  Vejamos alguns exemplos de como adicionar medidas de ngulos:

<R+>
 1- 12 17 30 +20 5 15

 12 17 30 +20 5 15 =32 22 45

 2- 43 50 30 +18 20 51

 43 50 30 +18 20 51 =61 70 81

<p>
 :> Simplificando 

 81 =1 +21
 71 =1 +11

 43 50 30 +18 20 51 =62 11 21 
<R->

 Subtrao com medidas de ngulos

  Para subtrair duas medidas de ngulos, devemos subtrair segundos de segundos, minutos
de minutos e graus de graus. Em alguns casos, devemos fazer transformaes para
realizar as subtraes.
  Vamos calcular:

<R+>
 1- 52 17 50 -41 5 18

 52 17 50 -41 5 18 =11 12 32

 2- 75 -47 25 30 =74 59 60 -47 25 30 =27 34 30
<R->

<196>
 Multiplicao de um nmero 
  natural por medidas de ngulos

  Para multiplicar um nmero natural por uma medida de ngulo, devemos multiplicar esse
nmero pelos segundos, minutos e graus, fazendo a simplificao, quando necessrio.
  Vamos calcular:
<R+>
 1- 2`(18 13`)

 18 13 2=36 26

 2`(18 13`)=36 26

 2- `(4 15 28`)5

 4 15 28 5=20 75 140

 140 =2 +20
 20 77 20
 77 =1 17
 21 17 20

 `(4 15 28`)5=21 17 20
<L> 
 Diviso de medidas de ngulos por 
  um nmero natural no nulo

  Vamos calcular:
 1- `(56 48 16`)2

 56 2=28
 48 2=24
 16 2=8

 `(56 48 16`)2=28 24 8

 2- `(28 17 21`)3

 28 3=9 resto 1
 1 =60 
 17 +60 =77
 77 3=25 resto 2
 2 =120
 21 +120 =141
 141 3=47 resto 0

 `(28 17 21`)3=
  =9 25 47

<p>
 Exerccios

 1. Efetue as operaes indicadas:
 a) 13 12 +41 10 20
 b) 35 20 -10 15 30
 c) 90 -37 40 20
 d) 34 51 12 +12 10 50
 e) 2`(50 19`)
 f) 4`(10 24 45`)
 g) `(27 36 33`)3
 h) `(41 50 14`)2
 i) 180 -54 12 49
 j) 5`(2 55 30`)

 2. Determine o valor das expresses, na forma
mais simplificada possvel.
 a) 15 12 35 +27 18 +13 51 30
 b) `(50 -15 20`)5
 c) 2`(18 15 +30 27 40`)-81 17 30

 3. Quanto  a metade de 15 19 10?
<p>
 4. Qual a medida de um ngulo, sabendo-se
que sua tera parte mede 9 29 5?
<R->

<197>
 5. _`[O menino diz_`]
  "Se eu dividir um ngulo de 145 em quatro partes iguais, quanto medir cada parte?"
<R+>
 6. Quanto  23 de 37 40?

 7. A soma das medidas de dois ngulos  80.
Um deles mede 27 18 14.
<R->

 _`[A menina diz_`]
  "Qual a medida do outro ngulo?"

<R+>
 8. Na figura, as medidas a, b, c e d so iguais e
podemos represent-las por x. Sabendo-se que
a+b+c+d=442, quanto valem a, b, c e d?

<p>
<F->
    ccccccc        ccccccc
    a     b        c     d 
                            
                             
                              
<F+>

 9. Na figura, :?A{o{c*  um ngulo de meia-volta.
Qual o valor de x?

 ngulo de meia-volta =180

<F->
                    B
                     *a
                    *a
                  *a
                *a
              *a
         x  *a
 l       l*a38 25  l    
alaaaaaaalaaaaaaaaaaaaalaa
A       O            C
<F+>

 10. No tringulo a seguir, a soma das medidas
dos trs ngulos, :A, :B e :C,  igual a 180. Qual a
medida do ngulo :A?
<R->
<L>
<F->
_`[{figura adaptada_`]

        A
        ~. 
          ^~. 
             ^~. 
                ^~. 
                   ^~. 
                      ^~. 
B-----------------------u".C  

Legenda: 
:B=59 20         
:C=35 50 20
<F+>

 Desafios!

  Troque ideias com o colega e, com o auxlio do transferidor, responda:

<R+>
 1. De quantos graus deve ser o giro da lancha
para atracar no cais da ilha?

<p>
<F->
  Ilha
    
     
      
       
        
::::::::o Lancha  
<F+>

 2. ngelo construiu um ngulo de 30 em
uma folha. Se ele observar a figura com uma
lente que aumenta duas vezes, quantos graus
passar a ter o ngulo construdo?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<198>
<p>
 39 -- ngulos consecutivos e 
  ngulos adjacentes

  Destacamos trs ngulos na figura a seguir:

<F->
           A
             .,a
          .,a
      .,a       B
O.,a            l 
  abkaaaaaaaaaaaala 
      a,.               
          a,. 
             a,.
            C

:?A{o{b*

           A
             .,a
          .,a
      .,a       B
O.,a            l 
  aaaaaaaaaaaaaaala 

:?B{o{c*

                B
O...............l.
  a,.            l   
      a,.    C
          a,.
            a,.

:?A{o{c*

           A
             .,a
          .,a 
      .,a  
O.,a
  a,.
      a,.     C
          a,.     
             a,.
<F+>

<p>
  Vamos comparar os ngulos dois a dois:

<R+>
 Comparando :?A{o{b* e  :?B{o{c*:

<F->
           A
             .,a
          .,a
      .,a       B
O.,a            l 
  abkaaaaaaaaaaaala 
      a,.               
          a,. 
             a,.
            C
<F+>
 
 o :?A{o{b* e :?B{o{c* tm o vrtice comum (ponto O).
 o :?A{o{b* e :?B{o{c* tm o lado :,?O{b* comum.

<p>
 Comparando :?A{o{b* e :?A{o{c*:

<F->
           A
             .,a
          .,a
      .,a       B
O.,a            l 
  abkaaaaaaaaaaaala 
      a,.               
          a,. 
             a,.
            C
<F+>

 o :?A{o{b* e :?A{o{c* tm o vrtice comum (ponto O).
 o :?A{o{b* e :?A{o{c* tm o lado :,?O{a* comum.

<p>
 Comparando :?B{o{c* e :?A{o{c*:

<F->
           A
             .,a
          .,a
      .,a       B
O.,a            l 
  abkaaaaaaaaaaaala 
      a,.               
          a,. 
             a,.
            C
<F+>

 o :?B{o{c* e :?A{o{c* tm o vrtice comum (ponto O).
 o :?B{o{c* e :?A{o{c* tm o lado :,?O{c* comum.
<R->

<199>
  Dizemos que:

  Dois ngulos que possuem o mesmo vrtice e tm um
lado comum so denominados ngulos consecutivos.

  Em nosso exemplo, so ngulos consecutivos:
<R+>
 o :?A{o{b* e :?B{o{c*
 o :?A{o{b* e :?A{o{c*
 o :?B{o{c* e :?A{o{c*
<R->

  Nesses trs casos de ngulos consecutivos, podemos notar que:

<R+>
 :?A{o{b* e :?B{o{c* no possuem pontos internos comuns.
 :?A{o{b* e :?A{o{c* possuem pontos internos comuns. 
 :?B{o{c* e :?A{o{c* possuem pontos internos comuns.
<R->

  Dizemos que:

  Dois ngulos consecutivos que no possuem pontos
internos comuns so denominados ngulos adjacentes.

  Ento, :?A{o{b* e :?B{o{c* so ngulos adjacentes.
  Veja outros exemplos:

<p>
<R+>
<F->
       B 
      
      
         
         
::r:::::::h:::::::r::
  A      P      C
<F+>

 :?A{p{c* e :?B{p{c* so adjacentes. 

<F->
               
P ::     N :t:   *a
                 *a
               *a  M
             *a  
           *a
         *a
         O
<F+>

 :?P{o{n* e :?N{o{m* so adjacentes. 

<p>
<F->
    B              
 ^?       C :t:   
  ^?             
     ^?        
       ^?    
 l       ^?        l
clcccccccccccccccccclc
 A      O         D
<F+>

 :?A{o{b* e :?C{o{d* no so adjacentes, pois no so consecutivos.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<200>
<p>
 40 -- Bissetriz de um ngulo
 
  Seja o ngulo :?A{o{b* da figura e med `(:?A{o{b*`)=50.

<F->
         
    A :t:
       
       
      
      50
             l 
O ccccccccccclcc
              B
<F+>

  A partir do vrtice O, traamos uma semirreta :,?O{p* que divide o ngulo :?A{o{b* em dois
ngulos adjacentes de mesma medida. A essa semirreta :,?O{p* damos o nome de bissetriz do
ngulo :?A{o{b*. Observe:

<p>
<F->
           A
             .,a
          .,a
      .,a       P
O.,a     25   l 
  abkaaaaaaaaaaaala 
      a,. 25               
          a,. 
             a,.
            B
<F+>

  Bissetriz de um ngulo  a semirreta de origem
no vrtice desse ngulo que determina, com seus
lados, dois ngulos adjacentes congruentes.

<R+>
 Desenho geomtrico -- construindo uma bissetriz
<R->

  Que tal usar dobraduras para obter a bissetriz de um ngulo?  s seguir os passos:

<R+>
 1. Desenhe um ngulo qualquer
em um pedao de cartolina
e nomeie-o :?A{o{b. Recorte o 
ngulo, como indicado na foto.
<L>
 _`[{desenho adaptado_`]

<F->
A
o
 ^?
   ^?
     ^?
      oO
     *a
   *a
 *a
o
B
<F+>

 2. Dobre o ngulo, fazendo
coincidir os lados :,?O{A* e :,?O{b*.
 3. Desdobre o ngulo. A dobra
obtida representa a bissetriz do
ngulo :?A{o{b*.
<R->

<201>
  Conhea outra forma de obter uma bissetriz de um ngulo dado: com a rgua e o compasso. Siga os passos:

<p>
<R+>
 1. Desenhe um ngulo qualquer e nomeie-o :?A{o{b*.
 2. Com a ponta-seca do compasso no vrtice O,
trace um arco com uma abertura qualquer
e determine os pontos C e D.
 3. Com a ponta-seca do compasso nos pontos C e
D, trace dois arcos de mesma abertura, que se
encontrem no ponto E.
 4. A semirreta :,?O{e*  a bissetriz do ngulo :?A{o{b* dado.
<R->

 Chegou a sua vez!

  Usando rgua e transferidor, construa ngulos de:
 a) 45 
 b) 30 
 c) 75 
 d) 120

<p>
  Depois, com o compasso, encontre a bissetriz de cada ngulo construdo.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<202>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Destaque dois pares de ngulos consecutivos
na figura _`[no adaptada_`]:
 2. Destaque os pares de ngulos adjacentes
em cada figura _`[no adaptada_`].
 3. Traando a bissetriz de um ngulo de 75,
qual a medida de cada ngulo _`[no adaptado_`] obtido?
 4. Quanto mede cada ngulo obtido quando
traamos a bissetriz de um ngulo raso (ou de
meia-volta)?

 _`[{para as atividades 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

 5. Na figura _`[no adaptada_`], :,?O{m*  a bissetriz de :?A{o{b* e
med `(:?M{o{b*`)=
  =23. Quais as medidas de :?A{o{m* e
:?A{o{b*?
 6. Na figura _`[no adaptada_`], quanto mede o ngulo
:?A{o{c*, sabendo-se que :,?O{n* e :,?O{m* so bissetrizes
de :?A{o{b* e :?B{o{c*, respectivamente?
 7. Como voc faria para dividir um ngulo em
quatro partes iguais (de mesma medida)?

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
 41 -- ngulo reto, ngulo agudo e ngulo obtuso
<R->

  Observe o ngulo raso (ou de meia-volta) :?A{b{c*:

  Voc j sabe que um ngulo raso mede 180.

 med `(:?A{b{c*`)=180

<203>
  Traando a bissetriz :,?B{m* desse ngulo, obtemos dois ngulos adjacentes congruentes
e, portanto, medindo 90 cada um.

<F->
           l
          :l: M
           l
           l 
           l 
  90 pcccpccc 90
       l_- l_- _
::w::::h:::h:::j:::::w::
  A       B       C
<F+>

<p>
<R+>
 o Cada um desses ngulos de medida 90  denominado
ngulo reto.
 o Utilizamos o smbolo _- para destacar um ngulo reto.
 o med `(:?A{b{m*`)= 
  med `(:?C{b{m*`)=90
 o Os ngulos :?A{b{m* e :?C{b{m* so retos.
<R->

  Podemos ainda destacar dois tipos de ngulos que so nomeados a partir da comparao
de suas medidas com a medida de um ngulo reto: so os ngulos agudo e obtuso.
  Denominamos ngulo agudo todo ngulo cuja medida  menor que a 
medida de um
ngulo reto e maior que a medida de um ngulo nulo.

<F->
           A
   90      .,a
          .,a
      .,a       
O.,a            l 
  aaaaaaaaaaaaaaala 
                 B
<F+>

<R+>
 o 0<med `(:?A{o{b*`)<90
 o :?A{o{b*  um ngulo agudo.
<R->

  Denominamos ngulo obtuso todo ngulo cuja medida  maior que a medida de um
ngulo reto e menor que a medida de um ngulo de meia-volta.

<F->
A
 ^?   90  
 ^?       
    ^?  
180 ^?         l
        ccccccccclcc
       O        B
<F+>

<R+>
 o 90<med `(:?A{o{b*`)<180
 o :?A{o{b*  um ngulo obtuso.
<R->

 Retas perpendiculares

  Ao traarmos, em um plano, duas retas concorrentes, isto , que possuam um ponto
em comum, essas retas concorrentes formam entre si quatro ngulos. Veja:

<F->
    C               A
^~                  ~^
   ^~            ~^ 
        ^~    ~^
            o
        ~^ P ^~      
   ~^            ^~ 
~^                  ^~
    D               B
<F+>

  Com a ajuda de um transferidor, medimos os
quatro ngulos formados:
  med `(:?A{p{b*`)=64  
  med `(:?B{p{d*`)=116
  med `(:?D{p{c*`)=64
  med `(:?C{p{a*`)=116

<204>
  Traando duas retas concorrentes, tambm  possvel obter 4 ngulos congruentes, ou
seja, de mesma medida.

<p>
<F->
         
   :A 
       
      
     
:B o :D
     
      
        
   :C 
         
<F+>

   fcil verificar que cada um dos ngulos
obtidos mede 90.

 a=b=c=d=90

  Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ngulos
retos, dizemos que as retas so perpendiculares e utilizamos o
smbolo #. para representar esse perpendicularismo.

<p>
<F->
           r l
             l 
             l
             l
             l
         pcccpccc
         l_- l_- _
s :::::::r:::r:::w::::::::
         l_- l_- _
         v---l---#
             l
             l
             l
             l
             l

<F+>

  Na figura, r e s formam entre si quatro
ngulos retos. Ento, r#.s.

 #. --  perpendicular a

 Desafio!

  Observe os ngulos das construes e troque ideias com um colega para identificar o tipo de cada
ngulo destacado nas fotos a seguir _`[no representadas_`].

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<205>
 Desenho geomtrico

 Construindo ngulos com rgua e 
  compasso

  Chegou a vez de construir um ngulo de 90 (ngulo reto) com rgua e compasso. Siga os passos:

<R+>
 1. Trace uma semirreta, de origem no ponto
A, que ser um dos lados do ngulo.

o::::::::::::::
 A

 2. Com a ponta-seca do compasso em A, trace
um arco que corte A no ponto B.
<p>
 3. Com a ponta-seca do compasso em B, corte
o arco no ponto C. Com a ponta-seca em C,
corte o arco no ponto D.
 4. Com a ponta-seca do compasso em C, faa um arco, como
mostra a figura _`[no adaptada_`]. Com a ponta-seca em D, corte o arco
formado no ponto E. Pelo ponto A, trace uma semirreta que passe pelo ponto E.
O ngulo :?B{a{e*  reto.
<R->

  Depois de construir um ngulo de 90, fica fcil fazer um ngulo de 45. Veja como:

<R+>
 1. Construa um ngulo de 90.
 2. Trace a bissetriz desse ngulo, obtendo um ngulo cuja
medida  902=45.
<R->

<p>
 Chegou a sua vez!

  Construa figuras onde apaream ngulos de 45 e de 90.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<206>
 Tratando a informao

 Grfico de setores

  Voc j teve oportunidade de interpretar alguns grficos de
setores ou de pizza. Que tal agora saber como construir um desses
grficos?
  O grfico de setores  formado por um crculo dividido em
partes (setores). O tamanho dessas partes indica o valor a que
corresponde cada informao, e os setores so determinados por
um ngulo cujo vrtice est no centro 
do crculo, sendo, por isso,
chamado de ngulo central.

 Chegou a sua vez!

<R+>
 _`[{para as atividades de 1 a 6, pea orientao ao professor_`]

 1. Usando um compasso, construa um crculo em cartolina e trace o dimetro
dele. Recorte a figura pelo dimetro, dividindo-a em duas partes.
 a) Que ngulo indica cada uma dessas partes?
 b) Recorte ao meio as duas figuras do item anterior. Que ngulos
voc obteve?

 2. Com o auxlio de dobraduras  possvel dividir um crculo em:
 o 2 partes iguais, com apenas uma dobra.
 o 4 partes iguais, com duas dobras.
 o 8 partes iguais, com trs dobras.

<207>
 a) Qual parte do crculo  determinada por um
ngulo de 180?
 b) A diviso que corresponde  quarta parte do
crculo  determinada por qual ngulo?
 c) Quando dividimos o crculo em oito partes
iguais, que ngulos formamos?

 3. Construa um crculo e divida-o por meio
de dobraduras em um ngulo de 180, um de
90 e dois de 45. Assim, voc formou 4 setores.
Pinte cada um deles de uma cor diferente. Faa
uma legenda indicando a cor que corresponde
a cada ngulo.
 4. Quantas dobras, no mnimo, sero necessrias
para dividir um crculo em 16
partes iguais?

<p>
 5. No caderno, faa uma tabela como esta e
complete-a.

 _`[{tabela adaptada em duas colunas_`]
 1 coluna: Nmero de partes em
que o crculo foi dividido
 2 coluna: Medida do ngulo que
cada parte representa

 !::::::::::::
 l 1 _  2  _
 r:::::w:::::::w
 l 2  _ 180 _
 r:::::w:::::::w
 l 4  _  ...  _
 r:::::w:::::::w
 l 8  _  ...  _
 r:::::w:::::::w
 l 16 _  ...  _
 h:::::j:::::::j

 6. No caderno, construa um grfico de setores
que traduza a seguinte situao:
  Joana e suas irms ganham por ms uma quantia
de seus pais. Joana, que  a mais velha, ganha
o dobro de sua irm 
  Joaquina. As gmeas
Jussara e Jlia, as caulas, ganham, cada uma,
metade da quantia que 
  Joaquina ganha.

               ::::::::::::::::::::::::

 42 -- ngulos complementares e ngulos suplementares
<R->

 ngulos complementares

  Observe os ngulos adjacentes :?A{o{b* e :?B{o{c* na figura. Voc pode notar que, juntos, eles
formam um ngulo reto, ou seja, a soma de suas medidas  igual a 90.

<p>
<F->
   l           
C:l:             
   l       
   l    B   
   l      
   l 
   ----------l--
 O           l
             A
<F+>

  Dizemos que os ngulos :?A{o{b* e :?B{o{c* so ngulos complementares ou, ainda, que :?B{o{c*
 o complemento de :?A{o{b* e vice-versa.

  Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas  igual a 90.

  Assim:
  Dois ngulos que medem 38 e 52 so complementares, pois 38+52=90.
  Dizemos que o ngulo de 38  o complemento do ngulo de 52 e vice-versa.

<208>
 ngulos suplementares

  Considerando novamente o ngulo :?A{o{b*, podemos traar o 
ngulo :?D{o{b*, tal que 
 med `(:?D{o{b*`)=120, e teremos:

<F->
                  B
                     *a
                    *a
                  *a
                *a
              *a
      120 *a
 l        *a 60      l    
alaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalaa
D       O            A
<F+>

<R+>
 med `(:?A{o{b*`)+ 
  med `(:?D{o{b*`)=60 +120 =180
<R->

  Dizemos que :?A{o{b* e :?D{o{b* so ngulos adjacentes suplementares ou, ainda, que :?D{o{b* 
o suplemento de :?A{o{b* e vice-versa.

  Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas  igual a 180.

  Assim:
  Dois ngulos que medem 45 e 135 so suplementares, pois 45 +135 =180. 
  Dizemos que o ngulo de 45  o suplemento do ngulo de 135 e vice-versa.

 Resolvendo problemas

  Acompanhe os exemplos:
<R+>
 1- Determinar a medida do complemento e do suplemento do ngulo de 46.

 Complemento: 90 -46 =44.
 Suplemento: 180 -46 =134.
 O complemento do ngulo de 46 mede 44 e o suplemento, 134.

<p>
 2- Determinar o valor de x indicado na figura a seguir.

<F->
  l          
  l               
  l x+30  .,a
  l      .,a 
  l   .,a     
  l.,a x-10 
  -------------
O           
<F+>

 Como os ngulos so adjacentes complementares:
 x+30 +x-10 =90
 2x+20 =90
 2x=90 -20
 2x=70
 x=702=35
 x=35

<209>
<p>
 3- Determinar as medidas de :?A{b{c* e :?C{b{d*.

<F->
                  C
                     *a
                    *a
                  *a
                *a
              *a
        3x *a
 l        *a x+12    l    
alaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalaa
A       B            D
<F+>

 Como os ngulos so adjacentes suplementares:
 3x+x+12 =180
 4x+12 =180
 4x=180 -12
 4x=168
 x=168 4=42

 med `(:?A{b{c*`)=3x=3`(42`)=
  =126
 med `(:?C{b{d*`)=x+12=42+12=
  =54
 :?A{b{c* e :?C{b{d* medem 126 e 54, respectivamente.
<L>
 4- O dobro da medida de um ngulo aumentado da medida do complemento do mesmo
ngulo  igual a 120. Calcular a medida do ngulo.

 Se chamarmos a medida do ngulo de x, a medida do seu complemento ser 90 -x.
 Pelo problema: 2x+`(90 -x`)=120
 2x -- dobro da medida do ngulo
 `(90 -x`) -- complemento da medida do ngulo

 2x+`(90 -x`)=120 
 2x+90 -x=120
 x=120 -90
 x=30

 O ngulo mede 30.

<210>
 5- A quinta parte da medida do suplemento de um ngulo  igual a 31. Qual  a medida
desse ngulo?

 Medida do ngulo: x.
 Medida do suplemento do ngulo: 180 -x.
 Pelo problema:
 ?180 -x*5=31
 ?180-x*5=31

 ?180-x*5=1555
 180-x=155
 -x=155-180
 -x=-25
 x=25 

 A medida do ngulo  25. 
 
 Exerccios

 1. Calcule a medida do complemento do ngulo
que mede:
 a) 8 
 b) 35 18 
 c) 89

 2. Calcule a medida do suplemento do ngulo
que mede:
 a) 90 
 b) 150 
 c) 18 43
<L>
 3. Se um ngulo mede x graus, que expresso
voc usa para representar:
 a) o complemento desse ngulo?
 b) o suplemento desse ngulo?
 c) a metade do suplemento desse ngulo?
 d) o quntuplo do suplemento desse ngulo?

 4. Quanto  a metade do complemento
de 57?

 5. Quanto mede o ngulo cuja medida  igual
 medida do seu complemento?

<p>
 6. Determine a medida x em cada um dos casos
a seguir.

a)
<F->
  l          
  l        *a       
  l35  *a
  l    *a 
  l  *a       
  l*a x
  -------------
O           
<F+>

b)
<F->
 ^?               
   ^?             
     ^?        
       ^?    140  
       x ^?        
cccccccccccccccccccccc
<F+>

<p>
c)
<F->
_          *a       
_        *a
_ x2 *a
_    *a
_  *a
_*a
_ 
_   140
_  
_
_
<F+>

d)
<F->
.............
      3x *al
        *a  l
      *a2x l  
    *a      l
  *a        l
            l
<F+>

 7. Dois ngulos so complementares. As medidas
desses ngulos so expressas por 2x-30 e x3+36. 
Nessas condies, qual  o valor de x?
 8. Na figura, :,?O{p*  bissetriz de :?B{o{c*. Calcule a
medida de :?A{o{c*. 

<F->  
      P
            C  *a
             *a 
             *a
           *a
 l  65 *a        l
clcccccccccccccccccclc
 B      O         A
<F+>

 9. O triplo da medida do complemento de um
ngulo  igual a 111. Qual a medida desse ngulo?
 10. Dois ngulos so suplementares. Um deles
mede 93 50. Qual a medida do outro?
 11. Quanto mede um ngulo cuja medida 
igual ao triplo da medida do seu suplemento?
<p>
 12. Na figura _`[no adaptada_`], :,?O{b*  a bissetriz de :?A{o{c* e
med `(:?D{o{e*`)=
  =40. Determine a medida de x.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<211>
 43 -- ngulos opostos pelo 
  vrtice

  Na figura, esto destacados os ngulos :?A{o{b*, :?B{o{c*, :?C{o{d* e :?D{o{a*.

<F->
    A               B
^~                  ~^
   ^~            ~^ 
        ^~    ~^
            o
        ~^ O ^~      
   ~^            ^~ 
~^                  ^~
    D               C
<F+>

  Nessa figura, temos:
<R+>
 :,?O{a* e :,?O{c* so semirretas opostas.
 :,?O{b* e :,?O{d* so semirretas opostas.
<R->

  Portanto, as semirretas :,?O{a* e :,?O{b*, que formam os lados do ngulo :?A{o{b*, so opostas,
respectivamente, s semirretas :,?O{c* e :,?O{d*, que formam os lados do ngulo :?C{o{d*.
  Nesse caso, podemos afirmar tambm que os lados do ngulo :?A{o{b* so formados pelos
prolongamentos dos lados do ngulo :?C{o{d* e vice-versa.
  A esses dois ngulos `(:?A{o{b* e :?C{o{d*`) damos o nome de ngulos opostos pelo vrtice.

  Dois ngulos so chamados opostos pelo vrtice (abreviamos o.p.v.) quando
os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.
<L>
<212>
<R+>
 Uma propriedade importante dos ngulos o.p.v.
<R->

  Na figura, os ngulos :?A{o{d* e :?B{o{c* so opostos pelo vrtice.

<F->
    A            B
^~              ~^
   ^~    m   ~^ 
      y ^~~^ x
        ~^^~      
   ~^   O   ^~ 
~^              ^~
    D           C
<F+>

 Indicando por:
 x= med `(:?B{o{c*`)
 y= med `(:?A{o{d*`)
 m= med `(:?A{o{b*`)

<R+>
 o Como :?A{o{b* e :?A{o{d* so adjacentes suplementares:

 m+y=180 (1)

<p>
 o Como :?A{o{b* e :?B{o{b* so adjacentes suplementares:

 m+x=180 (2)

 o Comparando (1) e (2), temos:

 m+y=180
 m+x=180
 :> m+y=m+x :> y=x
<R->

  Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes, ou seja, tm a mesma medida.

  Vejamos algumas aplicaes dessa propriedade na resoluo de problemas:
<R+>
 1- Determinar os valores de x e y na figura:

<F->
^~                ~^
    ^~    y   ~^ 
      x ^~~^ 30
        ~^^~      
    ~^        ^~ 
~^                ^~
               
<F+>
<L>
 x=30 -- ngulos o.p.v.
 y+30 =180 -- ngulos adjacentes suplementares
 y=180 -30
 y=150

<213>
 2- Dois ngulos opostos pelo vrtice tm medidas, em graus, expressas por x+50 e
2x-30. Qual  o valor de x?

 x+50 =2x-30 -- ngulos o.p.v.
 x-2x=-30 -50
 -x=-80
 x=80

<p>
 Exerccios 

 1. Na figura, x, y, z e w
representam as medidas
dos ngulos assinalados.
Identifique os pares:

<F->
^~                ~^
    ^~    y   ~^  
      x ^~~^ z
        ~^^~      
    ~^    w   ^~  
~^                ^~
                
<F+>

 a) congruentes; 
 b) suplementares.

 2. As retas r e s se cruzam formando um ngulo
de 45. Determine as medidas dos outros
trs ngulos formados por essas retas.

<p>
<F->
r
^~                ~^
    ^~        ~^  
  45  ^~~^  
        ~^^~      
    ~^        ^~  
~^                ^~
s                
<F+>

 _`[{para as atividades 3 e 5, pea orientao ao professor_`]

 3. Determine o valor de x nas figuras _`[no adaptadas_`].
 4. As medidas de dois ngulos opostos pelo
vrtice so expressas, em graus, por 3x+40 e
6x-21. Qual a medida x?
 5. Calcule as medidas x e y, a e b nas figuras _`[no adaptadas_`].
<R->

<p>
 Brasil Real

 wr  Cincias 

  Faa uma experincia simples: em um dia claro, saia para um local ensolarado em 4 horrios
diferentes, s 9 horas, ao meio-dia, s 15 horas e s 18 horas, por exemplo, e observe o que
ocorre com o tamanho de sua sombra.
  Voc poder observar que a sua sombra se desloca quando voc fica exposto ao Sol e que
o tamanho dela varia conforme a hora do dia.
  O relgio de sol baseia-se nesse mesmo princpio: no aparente movimento do Sol pela abbada
celeste e no deslocamento da sombra de um corpo projetada sobre uma superfcie plana.
<214>
  Em um relgio de sol, a luz solar incide sobre uma haste (gnmon), devidamente orientada
em relao  latitude do lugar e aos pontos cardeais, e projeta uma sombra em um mostrador
graduado com nmeros correspondentes s horas do dia.

  Sabendo que, em funo do movimento de rotao, a Terra gira 360 graus em 24 horas, um
observador na Terra v o Sol "se deslocar" 15 graus a cada uma hora (36024=15).
  O relgio de sol pode ser horizontal, vertical e equatorial.

<R+>
 _`[{trs fotos no adaptadas seguidas por suas legendas_`]
 1) No relgio de sol horizontal (o mais conhecido),
o mostrador fica no cho e o ponteiro, voltado para o Sul.
O da foto fica no Cemitrio de Ilkley,
West Yorkshire, Inglaterra.
 2) No relgio de sol vertical, o mostrador fica em p.
O relgio da foto fica em Tiradentes (MG).
<p>
 3) No relgio de sol equatorial, o mostrador
fica inclinado. O da foto fica prximo a
Ponte de Londres, Inglaterra.

 Fontes: 
  ~,www.jornaldaciencia.org.br~, e 
  ~,www.sombrasdotempo.org~, 
  Acesso em: 1 dez. 2008.
<R->

  O relgio de sol brasileiro
mais antigo  o da Igreja
de So Francisco Xavier,
de 1572, na cidade de
Niteri, RJ.

  O maior relgio de sol horizontal do
Brasil est localizado na cidade de
Palmas (TO). Tem um mostrador de 60
metros de comprimento e um ponteiro
de 20 metros de comprimento.

  O maior relgio de sol vertical
do Brasil foi inaugurado em
1989, no Parque da Cidade,
em Braslia, e possui seis
metros de altura.

  Pesquise e responda s questes: 
<R+>
 a) Existe algum relgio de sol em sua cidade?
 b) No Brasil, o Clube de Astronomia do Rio de Janeiro j catalogou mais de 200 relgios de sol.
Pesquise alguns locais onde foram construdos relgios de sol.
 c) Um observador na Terra v o Sol se deslocar quantos graus em:
 o 2 horas? 
 o 5 horas? 
 o 8 horas? 
 o 12 horas? 
 o 18 horas?
<R->

<215>
 Retomando o que aprendeu

 Responda no caderno.
<R+>
 1. Um ngulo tem como medida o dobro de
22 30. Esse ngulo mede:
 a) 44 
 b) 45 
 c) 44 30 
 d) 45 30 
 e) 46

 2. Dois ngulos so congruentes e suas medidas
so expressas por 7x+31 e 9x-43. Isso
significa que o valor de x :
 a) 35 
 b) 36 
 c) 37 
 d) 38 
 e) 39

 3. Quando queremos escrever a medida
27 58 120 na sua forma mais simples, devemos
escrever:
 a) 28 
 b) 28 30 
 c) 29 
 d) 29 30
 e) 30

 4. Dois ngulos :?A{o{b* e :?B{o{c* so adjacentes e
tais que med `(:?A{o{b*`)=25 47 28 e med `(:?B{o{c*`)=13 26 52. 
Ento, o ngulo :A{o{c* mede:
 a) 39 14 
 b) 39 20 
 c) 30 13 20 
 d) 39 14 10
 e) 39 14 20

 5. Qual  o valor de A, sabendo que A=35 +58 +`(80 53 -52 27`)?
 a) 64 24 
 b) 63 24 
 c) 64 14 
 d) 65 24
 e) 62 24

 6. Um ngulo tem 71 29 35 como medida
e foi dividido em cinco ngulos congruentes. A
medida de cada um dos ngulos obtidos :
 a) 17 14 55 
 b) 14 17 55 
 c) 14 18 
 d) 14 55 17
 e) 15 17 55

 7. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], med `(:?A{o{b*`)=
  =24 12 36. Se
  med `(:?A{o{c*`)=34 
  med `(:?A{o{b*`), ento o ngulo :?B{o{c*
mede:
 a) 18 9 27
 b) 18 3 9
 c) 6 9 9
 d) 6 3 9
 e) 6 9 3
 
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 8. Considere a expresso:
52 10 -`(81 50 -35 10`).
Seis vezes o valor dessa expresso resulta:
 a) 31 
 b) 32 
 c) 33 
 d) 34 
 e) 36

<p>
 9. O dobro da medida do complemento de um
ngulo de 37 28 50 :
 a) 104 52 10 
 b) 105 2 20 
 c) 105 2 10 
 d) 104 2 20
 e) 106 2 20

 10. A soma da medida de um ngulo com
a tera parte da medida de seu suplemento 
igual a 94. Qual  a medida desse ngulo?
 a) 49 
 b) 50 
 c) 51 
 d) 52 
 e) 61

 11. Dois ngulos so adjacentes suplementares
e suas medidas so expressas por 5x e
2x+68. O maior desses dois ngulos mede:
 a) 80 
 b) 85 
 c) 92 
 d) 100 
 e) 110

 12. Na figura, a diferena y-x vale:

<F->
^?            *a      
  ^?        *a      
    ^? y  *a  
 50 ^?*a x+20
      *a^?   
    *a b  ^? 
  *a        ^?
*a            ^?
<F+>

 a) 60
 b) 70
 c) 80
 d) 90
 e) 100

<p>
 13. Qual  o valor de y na figura?

<F->
         
     x  
       
150  x+y
      
       
        
         
<F+>

 a) 100
 b) 105
 c) 110
 d) 120
 e) 125

 14. Sabendo que a=3x-20, b=2x+10 e
a e b so as medidas de dois ngulos opostos
pelo vrtice, qual  o valor de a+b?
 a) 140 
 b) 135 
 c) 132 
 d) 126 
 e) 120

 15. Na figura _`[no adaptada_`], :,?O{e*  bissetriz de :?D{o{b*. Qual  a
medida do ngulo :?A{o{c*?
 a) 40
 b) 48
 c) 50
 d) 54
 e) 60
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               oooooooooooo

<216>
<p>
 Unidade 7

 Estudando Tringulos e 
  Quadrilteros

 Geometria na arte ou a arte da 
  geometria? 

  Vassily Kandinsky (1866-1944), pintor russo que vivia na Alemanha, deu incio
a uma tendncia artstica conhecida como abstracionismo. As obras que
seguem essa tendncia no reproduzem figuras reais nem retratam temas.
  O que importa so as formas e cores da composio.
  Conhea algumas obras de mestres abstracionistas.

<R+>
 _`[{duas fotos no adaptadas seguidas por suas legendas_`]
 Legenda 1: *Glass Faade*, de Paul Klee, 1940. 
 Legenda 2: *No quadro negro*, de Kandinsky, 1923.

 Nem tudo o que voc v  o que parece ser!

 _`[{dois quadros no adaptados seguidos por suas legendas_`]
 Quadro 1: Aqui no h tringulos desenhados,
mas, mesmo assim, voc os v. 
 Quadro 2: Os lados dos quadrados
amarelos parecem ser curvos.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<217>
 44 -- Reconhecendo tringulos

 O tringulo e seus elementos

  Como voc sabe, tringulo  um polgono de trs lados.

<F->
        A
        ~. 
          ^~. 
             ^~. 
                ^~. 
                   ^~. 
                      ^~. 
B-----------------------u".C  
<F+>
<L>
  No tringulo ABC da figura, podemos destacar os seguintes elementos:
 o Os pontos A, B e C, que so os vrtices do tringulo ABC;
 o Os segmentos ^c?A{b*, ^c?A{c* e ^c?B{c*, que so os lados do tringulo ABC;
 o Os ngulos :A, :B e :C, que so os ngulos internos do tringulo ABC.

  Assim, o tringulo ABC pode ser representado
por d?A{b{c*.

  Os tringulos podem ser classificados de
acordo com as medidas de seus lados ou com
as medidas de seus ngulos internos.

<p>
 Classificando os tringulos 
  quanto aos lados

  Considerando as medidas dos lados de um tringulo, temos a seguinte classificao:

<R+>
 o O tringulo com os trs lados congruentes
(os trs lados com a mesma medida)
 chamado tringulo equiltero.
<R->

<F->
       A
       
        
         
          
           
B----------uC
<F+>

 Na figura, ^c?A{b*==^c?A{c*==
  ==^c?B{c* 

<R+>
 o O tringulo com apenas dois lados congruentes
(dois lados com a mesma medida)
 chamado tringulo issceles.
<R->

<F->
      A
      
       
        
         
B--------uC
<F+>

 Na figura, ^c?A{b*==^c?A{c*

<218>
<R+>
 o O tringulo com os trs lados de medidas diferentes  chamado tringulo escaleno.
<R->

<F->
        A
        ^?
          ^?
            ^?
              ^? 
                ^?
                  ^?
B------------------u"C
<F+>

 Na figura, AB=AC, AB=BC 
  e AC=BC.

<p>
 Classificando os tringulos 
  quanto aos ngulos

  Quando consideramos as medidas dos ngulos internos de um tringulo, temos a seguinte
classificao:

<R+>
 o O tringulo com os trs ngulos internos agudos (menores 
que 90)  chamado tringulo
acutngulo.
<R->

<F->
             A
            *a
          *a   
        *a      
      *a         
    *a            
B}u---------------uC
<F+>

 med `(:A`)<90
 med `(:B`)<90
 med `(:C`)<90

<R+>
 o O tringulo com um ngulo interno reto (medida igual a 90)  chamado tringulo retngulo.
Os outros dois ngulos internos so agudos.
<R->

<F->
             C
            *
          *a _
        *a   _
      *a  pcc
    *a    l_-_
B}u------v--#A
<F+>

 med `(:A`)=90
 med `(:B`)<90
 med `(:C`)<90

<R+>
 o O tringulo com um ngulo obtuso (a medida  maior que 90 e menor que 180)  chamado
tringulo obtusngulo. Os outros dois ngulos internos so agudos.
<R->

<p>
<F->
C
 ?
  ^?
    ^?
      ^?
        ^?
          ^?
            ^?
        ------u    
        A     B
<F+>

 med `(:A`)<180
 med `(:B`)<90
 med `(:C`)<90

               ::::::::::::::::::::::::

<219>
<R+>
 45 -- Uma relao entre as 
  medidas dos ngulos internos de um tringulo
<R->

  Vamos fazer uma experincia para determinar uma importante relao entre as medidas
dos ngulos internos de um tringulo.
  Nessa experincia, consideramos o tringulo A{b{c a seguir, sendo 
<p>
a, b e c as medidas de
seus ngulos internos.

<F->
               A
              *a
            *a a 
          *a      
        *a         
      *a            
    *a b           c 
B}u------------------uC
<F+>         

  Siga os passos:       
<R+>
 1 Recorte em cartolina um tringulo de
qualquer tamanho e indique os ngulos
internos, assim:
 2 Separe o tringulo em trs partes,
cada uma contendo um dos ngulos
do tringulo.
 3 Junte os trs ngulos do tringulo, fazendo coincidir seus vrtices, como na figura _`[no adaptada_`].
<R->

<p>
  Voc pode notar que se formou um
ngulo de meia-volta, cuja medida  180.
  Assim, a+b+c=180.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<220>
  Se voc repetir a experincia com outros tringulos, ver que a soma das medidas dos
seus ngulos internos ser sempre 180.

  Em qualquer tringulo, a soma das medidas dos ngulos internos  igual a 180.
  Se a, b e c expressam as medidas dos trs ngulos internos de um tringulo qualquer, temos: a+b+c=180.

  A seguir, veja alguns exemplos em que podemos aplicar essa relao.
<R+>
 1- Calcular a medida x indicada na figura.

<F->
          A 
         75
          -
          ^
            ^ 
              ^ 
                ^
                  ^
 B ----------------u" C 
2x                     x      
<F+>

 Como 75, x e 2x so as medidas dos
ngulos internos do tingulo A{b{c, temos:
 75 +x+2x=180
 3x=180 -75
 3x=105
 x=105 3
 x=35

 2- No tringulo retngulo da figura, a medida de :B supera a medida de :C em 10. Quais as
medidas dos trs ngulos internos do tringulo?

<p>
<F->
 C
  p?
  l ^?
  l   ^?
  l     ^? 
  pcc    ^? 
  l_-_      ^?
Av--#--------"B
<F+>

 medida de :C=x
 medida de :B=x+10
 medida de :A=90

 Pela relao:
 x+x+10 +90 =180
 2x+100 =180
 2x=180 -100
 2x=80
 x=80 2=40
 med `(:A`)=90, med `(:B`)=50 e med `(:C`)=40.

<p>
 Exerccios

 _`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Faa as medies necessrias com uma rgua e classifique os tringulos a seguir quanto s
medidas de seus lados.
<R->
 a) 
<F->
C
 ?
  ^?
    ^?
      ^?
        ^?
          ^?
            ^?
        ------"  
       A        B
<F+>

<p>
 b) 
<F->
        A
        
         
          
           
            
             
B------------uC
<F+>

 c)
<F->
  C
  p?
  l ^?
  l   ^?
  l     ^? 
  pcc    ^? 
  l_-_      ^?
Av--#--------"B
<F+>
   
<221>
<R+>
 2. Faa as medies necessrias com um transferidor
e classifique os tringulos quanto s medidas
de seus ngulos internos.
<R->

<p>
<F->
a)
      A
      -
      ^
        ^ 
          ^   
B----------u"C

b)
           A          
          *a
        *a   
      *a      
    *a         
C}u------------u B

c)
C -------A 
   ^     
     ^    
       ^   
         ^  
           ^ 
             ^
               ^ 
                 B
<F+>

<R+>
 3. Dois ngulos internos de um tringulo medem,
respectivamente, 35 e 55. Qual a medida
do terceiro ngulo?
 4.  possvel construir um tringulo com dois
ngulos retos? Justifique sua resposta.
 5. Um tringulo tem dois ngulos internos
com a mesma medida. Sabe-se
que o terceiro ngulo mede 50. Qual  a medida dos ngulos
congruentes?

 6. Determine o valor de x em cada tringulo.
<R->
<F->
a)
  C
  p?
  l ^?
  l   ^?
  l     ^? 
  pcc    ^? 
  l_-_      ^?
Av--#--------"B

:A=90
:B=x
:C=45
<L>
b)
P
 _e.
 _  e. 
 _    e. 
 _      e.O
 _      *a 
 _    *a    
 _  *a
 _*a 
R

:P=:O=:R=x

c)
      A
      -
      ^
        ^ 
          ^   
B----------u"C

:A=x
:B=60
:C=38

<p>
d)
       A
       
        
         
          
           
B----------uC

:A=x
:B=x+1
:C=x+2
<F+>

 Desafio!

  Convide um amigo e faam
uma experincia matemtica
com dobraduras.
  Vocs podem verificar que
a soma das medidas dos
ngulos internos de um
tringulo  igual a 180
fazendo dobraduras!
  
  Repitam a experincia
usando um tringulo:
 a) issceles;
 b) equiltero;
 c) retngulo.
<L>
<222>
 Desenho geomtrico

 Construindo um tringulo com 
  rgua e compasso

  Conhecendo apenas as medidas dos lados,  possvel construir um tringulo utilizando rgua e compasso. Observe o procedimento:
       
<F->
A           a            C   
o::::::::::::::::::::::::o

B      c        A
o:::::::::::::::o

C   b    A
o::::::::o
<F+>

  Estas so as medidas dos lados do tringulo.

<R+>
 1. Sobre uma reta r qualquer e usando o compasso,
marque um dos lados dados (normalmente o maior
deles): no caso, o lado de medida a.
 2. Com a ponta-seca do compasso na extremidade B, do
segmento ^c?B{c*, e raio igual  medida c, trace um arco.
 3. Com a ponta-seca do compasso na outra extremidade do
segmento  ^c?B{c*, e raio igual  medida b, trace um arco que
corta o anterior em um ponto.
 4. Una o ponto de interseco dos arcos (ponto A) com as
extremidades do segmento ^c?B{c* para obter o tringulo ^c?A{b{c* procurado.
<R->

 Chegou a sua vez!

  Construa outros tringulos, utilizando o mesmo procedimento.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quinta Parte